深入解析单纯形法：步骤详解与应用指南

单纯形法，作为线性规划问题求解的一种重要算法，自1947年由George Dantzig提出以来，便在科学研究和工程应用中占据了举足轻重的地位。本文将详细解析单纯形法的各个步骤，帮助读者深入理解其原理与应用。

一、单纯形法的基本概念

单纯形法，顾名思义，与代数拓扑中的“单纯形”概念紧密相关，可以理解为一种凸集上的寻优方法。在线性规划问题中，单纯形法通过迭代方式，在可行域（凸集）内不断寻找更优解，直至达到最优解。线性规划问题的一般形式可以表示为：

\[

\begin{aligned}

&\text{Max } & c^T x \\

&\text{s.t. } & Ax = b \\

& & x \geq 0

\end{aligned}

\]

其中，$c$ 和 $x$ 是向量，$A$ 是矩阵，$b$ 是向量，目标函数 $c^T x$ 需要最大化，同时满足等式约束 $Ax = b$ 和非负约束 $x \geq 0$。然而，实际问题中约束条件往往以不等式的形式出现，此时需要将其转化为标准型。

二、将问题转化为标准型

在求解前，需将所有不等式约束转化为等式约束，这通常通过引入松弛变量（对于“≤”不等式）或剩余变量（对于“≥”不等式）来实现。例如，对于不等式约束 $x_1 + 4x_2 + 2x_3 \leq 48$，可引入松弛变量 $x_4$，转化为等式 $x_1 + 4x_2 + 2x_3 + x_4 = 48$，并规定 $x_4 \geq 0$。

以题目中给出的具体问题为例：

\[

\begin{aligned}

&\text{Max } & 6x_1 + 14x_2 + 13x_3 \\

&\text{s.t. } & x_1 + 4x_2 + 2x_3 \leq 48 \\

& & x_1 + 2x_2 + 4x_3 \leq 60 \\

& & x_1, x_2, x_3 \geq 0

\end{aligned}

\]

转化为标准型后：

\[

\begin{aligned}

&\text{Max } & 6x_1 + 14x_2 + 13x_3 + 0x_4 + 0x_5 \\

&\text{s.t. } & x_1 + 4x_2 + 2x_3 + x_4 = 48 \\

& & x_1 + 2x_2 + 4x_3 + x_5 = 60 \\

& & x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0

\end{aligned}

\]

三、初始化单纯形表

选择初始基本可行解，通常取所有非基变量（即松弛变量）为非零值，而基变量（原变量）为零。在此例中，可以选择 $x_1 = x_2 = x_3 = 0, x_4 = 48, x_5 = 60$ 作为初始解，其基为 $\{p_4, p_5\}$。

构建初始单纯形表，包括目标函数系数、基变量、非基变量、检验数等信息。检验数用于衡量每个非基变量进入基后目标函数可能增加的量，是单纯形法迭代的核心。

四、迭代过程

单纯形法的迭代过程主要包括两个核心步骤：选择进入基的变量（入基变量）和离开基的变量（出基变量）。

1. 选择入基变量：通常选择检验数最大的非基变量作为入基变量，因为这意味着该变量进入基后可能带来最大的目标函数值增加。

2. 选择出基变量：根据当前基和目标函数的系数，计算每个基变量的最小比值（即比率测试），选择比值最小的基变量作为出基变量。如果某个比值为负或无穷大，则说明当前基本可行解已是最优解或问题无界。

3. 更新单纯形表：通过高斯消元等方法，用入基变量替换出基变量，更新基和单纯形表，然后继续迭代，直到找到最优解或判断问题无解。

五、终止条件

单纯形法的迭代过程将在以下任一条件下终止：

最优解条件：所有非基